\subsection{Двойственность задач оценивания и управления}

Покажем двойственность задачи оценивания состояния линейной системы в пространстве состояний и задачи оптимального управления. Рассмотрим линейную систему, состоящую из уравнений динамики

\begin{equation}
x_{k+1}=A_kx_k+w_k,~~~~k=0\ldots N-1\label{a1}
\end{equation}
и уравнений измерений
\begin{equation}
y_k=c_kx_k+v_k,~~~~k=0\ldots N-1 \label{a2}.
\end{equation}
$A_k, C_k$ - известные матрицы, $y_k\in \mathbb{R}^{n}$ -
известные измерения, $x_k\in \mathbb{R}^{n}, k=0\ldots N-1$ -
состояния системы, $x_0$ - начальное состояние: $Ex_0=m, Dx_0=s$.
$w_k, v_k$ - помехи: $Ew_k=Ev_k=0, Dw_k=M_k, Dv_k=N_k$. Величины
$x_0, \{w_k\}, \{v_k\}$ независимы в совокупности.\\

{\bf Задача.}\\
Найти оценку $a^T\hat{x}_N$, линейную по $y_0 \ldots y_{N-1}$ и
доставляющую минимум критерию
\begin{equation}
\min_{\tilde{x}_N}
E(a^Tx_N-a^T\tilde{x}_N)^2=E(a^Tx_N-a^T\hat{x}_N)^2 \label{a3}.
\end{equation}
Покажем, что эта задача эквивалентна некоторой задаче оптимального
управления. Будем искать $a^T\hat{x}_N$ в виде
\begin{equation}
a^T\hat{x}_N=-\sum_{k=0}^{N-1}u_k^Ty_k+b^Tm \label{a4}
\end{equation}
Знак минус возьмем для удобства. Имеем задачу: найти $b, u_0
\ldots u_{N-1}$ такие, что $a^T\hat{x}_N$ доставляет минимум
(\ref{a3}). Введем векторы $z_k, k=-1\ldots N-1$, определяемые
рекууррентными соотношениями:
\begin{equation}
z_{k-1}=A^T_kz_k+C_k^Tu_k,~~~~k=N-1\ldots -1 \label{a5}
\end{equation}
с начальным условием $z_{N-1}=a$. Следовательно

$a^Tx_N=z^T_{N-1}x_N=\{\textrm{можно представить
виде}\}=$
\begin{equation}
=z^T_{-1}x_0+\sum_{k=0}^{N-1}\{z_k^Tx_{k+1}-z_{k-1}^Tx_k\}.
\label{a6}
\end{equation}
Домножим (\ref{a1}) слева на $z^T_k$, а (\ref{a5}) слева на
$x_k^T$ и транспонируем:\\
\begin{center}
$z^T_kx_{k+1}=z^T_kA_kx_k+z_k^Tw_k$,
\end{center}
\begin{center}
$z^T_{k-1}x_k=z^T_kA_kx_k+u^T_kC_kx_k$.
\end{center}
Подставим полученные равенства в (\ref{a6}):
\begin{center}
\begin{equation*}
a^Tx_N=z^T_{-1}x_0+\sum_{k=0}^{N-1}\{z_k^Tw_k-u^T_kC_kv_k\}.
\end{equation*}
\end{center}
 Из равенств (5) и (2) получим
\begin{center}
\begin{displaymath}
a^T\hat{x}_N=-\sum_{k=0}^{N-1}u^T_ky_k+b^Tm=-\sum_{k=0}^{N-1}\{u^T_kC_kx_k+u^T_kv_k\}+b^Tm.
\end{displaymath}
\end{center}
Объединяя последние два соотношения, получим
\begin{equation*}
a^Tx_N-a^T\hat{x}_N=z^T_{-1}x_0-b^Tm+\sum_{k=0}^{N-1}\{z^T_kw_k+u^T_kv_k\}.
\end{equation*}
Возводя в квадрат и беря математические ожидания, получим
\begin{equation}
E(a^Tx_N-a^T\hat{x}_N)^2=((z^T_{-1}-b)^Tm)^2+z^T_{-1}sz_{-1}+\sum_{k=0}^{N-1}\{z^T_kM_kz_k+u^T_kN_ku_k\}.
\end{equation}
Нужно минимизировать это выражение по $b$ и $u_0\ldots u_{N-1}$.
Очевидно, что $b=z^T_{-1}$. Пришли к задаче о нахождении
управляющего сигнала $u=(u_0\ldots u_{N-1})$ для системы (5),
который минимизирует критерий
\begin{equation*}
\min_{u_0\ldots
u_{N-1}}\{z_{-1}^Tsz_{-1}+\sum_{k=0}^{N-1}\{z_k^TM_kz_k+u^T_kN_ku_k\}\}.
\end{equation*}
\newpage